Sommet de la parabole représentative

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit \(a,b,c\) trois réels, \(a\) non nul et \(f\) la fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\) .

Définition

On appelle sommet de la parabole représentative de la fonction \(f\) le point d'intersection de la parabole avec son axe de symétrie.

Propriété
Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \(S\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)\) .
Démonstration

\(\text S\) appartient à l'axe de symétrie d'équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\) , son abscisse est bien \(-\dfrac{b}{2a}\) . Pour l'ordonnée, il suffit de remarquer qu'il s'agit de l'image de   \(-\dfrac{b}{2a}\) par la fonction \(f\) et on trouve par le calcul \(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\) .

Exemple

Soit \(y=x^2-3x+5\) l'équation réduite d'une parabole. Son sommet \(\text S\) a pour abscisse \(x_\text S=-\dfrac{-3}{2\times1}=\dfrac 3 2\) et pour ordonnée \(y_\text S=\left(\dfrac 3 2\right)^2-3\times \dfrac 3 2 + 5 = \dfrac {11} 4\) .